https://powermathematics.blogspot.com/
https://uny.academia.edu/MarsigitHrd
TRANSFORMASI DUNIA MATEMATIKA
Abstrak
Perjalanan perkembangan
konsep matematika sangatlah panjang. Begitu banyak pemikiran yang lahirdari
para ilmuan, dimana perjalanan berfikir mereka tidaklah terlepas dari aliran
filsfat yang mereka anut. Seperti David
Hilbert (1642 –1943) yang hadir dengan program Hilbertnya. Diawali dengan menolak
solusi logika Russell untuk konsistensi masalah untuk aritmatika, terutama
karena alasan bahwa aksioma reducibilitas tidak bisa diterima sebagai aksioma
murni logis (1920). Tujuannya adalah untuk mengurangi teori himpunan, dan
dengan itu metode biasa analisis, untuk logika, belum tercapai hari ini dan
mungkin tidak dapat dicapai pada semua. Setelah itu program Hilbert dikritisi
oleh Teorema ketidaklengkapan Gödel (Gödel, 1931) yang menunjukkan bahwa
optimisme Hilbert tidak berdasar. Gödel menunjukkan bahwa
sistem apa pun yang konsisten dengan seperangkat aksioma yang dapat dikomputasi
yang mampu mengekspresikan aritmatika tidak akan pernah lengkap.
Kata Kunci: Program
Hilbert, Teorema ketidaklengkapan Gödel
A. Pendahuluan
Hermeneutika
berasal dari bahasa Yunani “ hamencuin “ yang berarti menafsirkan. Di dalamnya
terkandung abstraksi atau idealisasi. Demikian juga secara terminologinya hermeneutika
bisa diterjemahkan ke dalam tiga pengertian: 1.Pengungkapan fikiran dalam kata
kata, penterjamahan dan tindakan sebagai penafsir. 2. Usaha mengalihkan dari
sutau bahasa asing yang maknanya gelap tidak diketahui ke dalam bahasa lain
yang bisa dimengerti oleh si pembaca. 3. Pemindahan ungkapan fikiran yang
kurang jelas, diubah menjadi bentuk ungkapan yang lebih jelas. Ketika lingkungan yang difahami oleh
seseorang yang berbeda, maka pengetahuan yang didapatkan akan berbeda pula,
bahkan peristiwa yang sama dihayati oleh orang yang sama akan tetapi dalam
waktu dan keadaan yang berbeda hasilnyapun dimungkinkan berbeda. Bahkan suatu
peristiwa yang terjadi jika disentuh dan dipahami orang, maka peristiwa
tersebut menjadi “peristiwa menurut orang yang menyentuh atau memahaminya.
Unsur – unsur tersebut yang disebut fenomenologi. Unsur dasar fenomena
sangatlah kompleks (misal matematika secara keseluruhan). Esensi dari model
adalah konsep yang dibentuk dari idealiasasi dan abstraksi. dimana idealisasi
merupakan suatu kegiatan di mana sifat-sifat yang ada diasumsikan sempurna dan
merupakan pengasumsian sifat yang benar dari sifat-sifatnya dengan tujuan untuk
menyederhanakan suatu model menjadi dari sifat-sifat benda di dunia nyata yang
sangatlah komleks (Marsigit, 2012; Levy, 2018). Di dalam idealisasi ada yang namanya pembeda
atau jenis (sifat, hubungan, transformasi, dan operasi). Sementara abstraksi
adalah proses untuk memperoleh intisari
konsep matematika, menghilangkan kebergantungannya pada objek-objek dunia nyata
yang pada mulanya mungkin saling terkait, dan memperumumnya sehingga ia
memiliki terapan-terapan yang lebih luas atau bersesuaian dengan penjelasan
abstrak lain untuk gejala yang setara (https://id.wikipedia.org/wiki/Abstraksi_(matematika).
.
Unsur
fenomena berjalan dalam time and space. Operasi unsur dari fenomena
menghasilkan novelty (kebaruan). Fenomena dapat berbentuk makro dan
mikro. misal dalam menggambarkan
jakarta. Ketika kita menyebut jakarta maka didalam pikiran kita terbayang
jakarta dengan penggambaran yang berbeda – beda dengan orang lain. Unsur dasar
fenomena berupa sifat. Sifat sebagai
suatu konsep yang terdapat didalam rasio. Dalam realita konsep menjadi karakter
fenomena. Konsep jika ditinggikan menjadi kuasa Tuhan. Yang paling dasar adalah
ciptaan tuhan( benda/ objek/ konsep) yang di atasnya ada norma, dan ada belief.
Untuk mengatur tempat kedudukan ada yang disebut formal(mind) dan substen.
Fenomenologi adalah bagian dari hermeneutika yaitu ada yang berupa riset
pengembangan dan pendalaman. Dalam riset pendalaman muncul grounded teory dan studi kasus. Dan
Matematika model merupakan bagian dari fenomena yang didalami.
Objek
dalam matematika secara intensif tersusun bertingkat. Yang paling dasar adalah
objek material yaita Benda-benda yang ada didunia nyata yang nampak secara
kongkrit seperti batu, tanah, gunung, manusia, dan benda-benda lainnya. Dalam
matematika objek-objek ini digunakan sebagai bagian dari matematika. Atau yang
disebut dengan pembelajaran realistik.
Tingkatan selanjutnya adalah objek formal. Seorang peserta didik pada
tingkat sekolah menengah diyakini telah dapat berfikir secara formal. Dimana
pembelajaran matematika telah dapat dilepaskan dari konteks kehidupan nyata.
Objek formal adalah Objek matematika secara formal bermakna hasil abstraksi dan
idealisasi dari dari benda-benda kongkrit yang ditampakan dalam pikiran manusia
(Marsigit, 2012). Misal pada materi Geometri , Statistika, dan aljabar. Seorang
siswa pada tingkat sekolah menengah atas dapat disuguhkan konsep-konsep
matematika tampa melibatkan aktualisasinya di dunia nyata. Karena pada tahap
ini, seorang siswa diyakini telah dapat berfikir secara formal. Sebagai contoh,
dalam pembelajaran transformasi linear. Kita dapati pengertian transformasi
sebagai sebuah proses perubahan secara berangsur-angsur sehingga sampai pada
tahap ultimate, perubahan yang dilakukan dengan cara memberi respon terhadap
pengaruh unsur eksternal dan internal yang akan mengarahkan perubahan dari
bentuk yang sudah dikenal sebelumnya melalui proses menggandakan secara
berulang-ulang atau melipatgandakan. Menurut Laseau 1980 kategori transformasi:
1.
Transformasi bersifat Tipologikal (geometri) bentuk geometri yang
berubah dengan komponen pembentuk dan fungsi ruang yang sama.
2.
Transformasi bersifat gramatikal hiyasan (ornamental) dilakukan dengan
menggeser, memutar, mencerminkan, menjungkirbalikkan, melipat dll.
3.
Transformasi bersifat refersal (kebalikan) pembalikan citra pada figur
objek yang akan ditransformasi dimana citra objek dirubah menjadi citra
sebaliknya.
4.
Transformasi bersifat distortion (merancukan) kebebasan perancang dalam
beraktifitas.
Pada tahap formal siswa SMA disuguhkan materi transformasi seperti
berikut:
a.
Translasi (pergeseran)
b.
Refleksi (pencerminan)
Contoh:
c.
Rotasi (perputaran)
d.
Dilatasi (perubahan ukuran)
Tahap
ke tiga adalah objek normatif. Yaitu obyek-obyek matematika sebagai makna dari
obyek-obyek material dan formal (Marsigit, 2012). Kembali kepada materi
transformasi di atas. Pada tingkatan ini seorang siswa diyakini telah dapat
memahami makna korolary, lemma, teorema, dan
definisi dari sebuah konsep. Dimana mereka telah dapat disuguhkan dengan
materi transformasi yang lebih mendasar.
Dan
yang terakhir adalah objek spritual yaitu Segala sesuatu yang menjadi ketentuan
mutlak dari Tuhan YME, baik itu berupa takdir, ataupunbenda-benda kongkrit yang
secara mutlak tidak dapat diciptakan oleh manusia.
B.
Ontologi dan
Epistimologi Matematika
1. Ontologi Matematika
Objek formal ontologies adalah hakekat realitas. Ontology adalah kajian
utama filsafat selain epistimolgi dan axiology. Ontology adalah kajian filsafat
ilmu yang yang membahas hakikat segala sesuatu yang ada, baik kongkrit maupun
abstrak. Peran filsafat ilmu peran ontologies yaitu untuk memperjelas hakekat
matematika.
Mengenai “apa itu matematika” dijelaskan oleh Russeffendi (1980) seagai ilmu
berfikir deduktif karena matematika terorganisasikan dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan, definisi-definisi,
aksioma-aksioma, dan dalil-dalil di mana dalil-dalil setelah dibuktikan
kebenarannya berlaku secara umum. James dan James (1976) menyebutkan bahwa
matematika adalah ilmu tentang logika, tentang bentuk, susunan, besarab dan
konsep-konsep yang saling berhubungan. Senada dengan itu, Reys - dkk (1984) mengatakan matematika
adalah telaahan tentang pola dan hubungan, suatu jalan atau pola berpikir,
suatu seni, suatu bahasa dan suatu alat. Selanjutnya Kline (1973) menegaskan
matematika itu bukan pengetahuan menyendiri, melainkan pengetahuan yang ada untuk
membantu manusia memahami dan menguasai permasalahan sosial, ekonomi dan alam. Sehingga dapat
dikatakan bahawa matematika adalah ilmu pengetahuan yang mencakup konsep-kensep
ilmiah yang bersifat terstruktur dan memiliki hubungan dengan banyak kajian keilmuan
lainnya baik sains maupun social.
2. Epistimologi
Matematika
Istilah “Epistemologi” berasal dari bahasa
Yunani yaitu “episteme” yang berarti pengetahuan dan ‘logos” berarti perkataan, pikiran, atau
ilmu. Kata “episteme” dalam bahasa Yunani berasal dari kata
kerja epistamai, artinya menundukkan, menempatkan,
atau meletakkan. Maka, secara harafiah episteme berarti pengetahuan sebagai upaya
intelektual untuk menempatkan sesuatu dalam kedudukan setepatnya. Bagi suatu ilmu pertanyaan yang
mengenai definisi ilmu itu, jenis pengetahuannya, pembagian ruang lingkupnya,
dan kebenaran ilmiahnya, merupakan bahan-bahan pembahasan dari epistemologinya.
“epistemology is the branch of philosophy which
investigates the origin, stukture, methods and validity of knowledge (Runes, 1971).
Ernest (1991) menjelaskan bahwa pendekatan epistemologi
yang secara luas diadopsi adalah dengan mengasumsikan bahwa pengetahuan dalam
bidang apapun diwakili oleh seperangkat proposisi bersama dengan prosedur untuk
memverifikasi kebenarannya. Atas dasar ini, pengetahuan matematika terdiri dari
satu set proposisi bersama dengan bukti-buktinya. Menurut Ernest (1991) secara
tradisional filsafat matematika telah melihat tugasnya sebagai penyedia
landasan suatu kepastian pengetahuan matematika. Sehingga dapat
disimpulkan bahwa epistimologi matematika adalah tentang bagaimana matematika
itu diperoleh kebenarannya.
C. TRANSFORMASI KONSEP MATEMATIKA
1.
Konsep Kalkulus
(Limit Leibniz)
Menurut sejarah,
konsep fungsi pertama kali digunakan oleh Leibniz dalam tahun 1673 untuk
menyatakan ketergantungan antara sebuah besaran (kuantitas) dengan besaran
lain:Misalkan:
a. Luas sebuah lingkaran bergantung kepada panjang
jari-jarinya dengan persamaan A = πR2 kita katakan A adalah fungsi dari R.
b. Kecepatan bola yang jatuh dari ketinggian tertentu
meningkat sejalan dengan waktu sampai bola menyentuh tanah. Kecepatan v
bergantung kepada t dikatakan v fungsi dari t.
c. Pada suatu titik tertentu di bumi, kecepatan angin w
bervariasi tergantung waktu t sehingga kita katakan bahwa “w fungsi dari t.”
d. Dalam pembudidayaan bakteri, banyaknya bakteri setelah
1 jam bergantung kepada banyaknya bakteri pada awal, kita katakan “banyaknya
bakteri setelah satu jam merupakan fungsi dari banyaknya bakteri pada
permulaan.”
Untuk mendiskusikan fungsi atau relasi antara suatu
kuantitas dengan kuantitas lain seorang ahli matematika dari Swiss, Leonhard
Euler mengembangkan gagasan fungsi menggunakan huruf alphabet seperti f untuk
menotasikan fungsi, dan ditulis sebagai berikut:
y = f(x) y adalah fungsi dari x
Dalam kalkulus diferensial, kita memiliki aturan
bahwa:
- Limit dari jumlah fungsi adalah jumlah dari limit fungsi-limit fungsi itu
- Limit dari selisih dua fungsi adalah selisih dari limit fungsi-limit fungsi tersebut
- Limit dari hasil kali dua fungsi adalah hasil kali dari limit-limit fungsi tersebut
- Limit dari hasil bagi dua fungsi adalah hasil bagi dari limit-limit fungsi asalkan pembaginya tidak nol
- Turunan dari jumlah fungsi adalah jumlah dari turunan fungsifungsi itu
- Turunan dari selisih dua fungsi adalah selisih dari turunan fungsi
Adalah logis untuk mengatakan bahwa turunan dari
hasilkali dua fungsi adalah hasil kali dari turunan-turunan fungsi tersebut.
Bahkan sempat ditulis oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz salah seorang penemu
kalkulus.
Dalam naskah bertanggal 11 Nopember 1675, ia
menghitung turunan dari hasil kali dua fungsi dan mengatakannya (tanpa
pemeriksaan) bahwa ini sama dengan hasil kali turunanturunannya. Sepuluh hari
kemudian, ia dapati bahwa hal ini salah dan ia mengoreksi kesalahan aturan
perkalian ini, sehingga ia tuliskan sebagai berikut: Jika dua fungsi f dan g
adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, maka
(f.g)’(x) = f(x). g’(x) + f’(x).g(x)
Link: https://video.quipper.com/id/blog/mapel/soal-uts/jangan-bilang-susah-kalau-belum-coba-ngulik-soal-logaritma-sma-kelas-x/
Dx[f(x).g(x)] = f(x) Dxg(x) + Dxf(x). g(x), yang dengan kata-kata dapat diungkapkan sebagai
“Turunan dari hasil kali dua fungsi adalah fungsi pertama kali derivative
fungsi kedua ditambah fungsi kedua kali turunan fungsi pertama.”
Contoh:
Notasi Leibniz untuk turunan masih banyak digunakan hingga saat ini terutama dalam ilmu terapan seperti fisika, kimia, dan ekonomi. Kemenarikannya terletak pada bentuknya yang seringkali memperlihatkan hasil yang benar dan kadang-kadang mendorong dan menarik bagaimana membuktikannya.
2. Perkembangan Program Hilbert
Hingga Pengaruh Teorema Godel
a. Formalitas Hilbert
David Hilbert
(1642 –1943) berpendapat bahwa matematika adalah tidak lebih atau tidak kurang
sebagai bahasa matematika. Hal yang dimaksudkan adalah permainan formula (Hal
ini disederhanakan sebagai deretan permainan dengan rangkaian tanda –tanda
lingistik, seperti huruf-huruf dalam alpabet Bahasa Inggeris. Bilangan dua
ditandai oleh beberapa tanda seperti 2, II atau SS0. Dan sampai sejauh mana permainan formula itu
dimungkinkan? Permainan rumus ini memungkinkan kita untuk mengekspresikan
seluruh isi pemikiran dari ilmu matematika secara seragam dan mengembangkannya
sedemikian rupa sehingga, pada saat yang sama, keterkaitan antara proposisi
individu dan fakta menjadi jelas.
Hilbert juga
menekankan bahwa matematika merupakan
permainan dengan aturan; bagaimana cara kita berpikir, berbicara dan menulis. Hal ini didasarkan Filosofi dasar formalisme, seperti yang dicontohkan oleh
David Hilbert sebagai respons terhadap
paradoks teori himpunan, dan didasarkan pada logika formal. Hampir semua
teorema matematika hari ini dapat dirumuskan sebagai teorema teori himpunan.
Kebenaran pernyataan matematis, dalam pandangan ini, diwakili oleh fakta bahwa
pernyataan tersebut dapat diturunkan dari aksioma teori himpunan menggunakan
aturan logika formal.
Hermann Weyl (1921) memaparkan pertanyaan-pertanyaan Hilbert seperti
berikut:
Apa "kebenaran" atau objektivitas dapat
dianggap berasal dari konstruksi teoretis dunia ini, yang jauh melampaui yang
diberikan, adalah masalah filosofis yang mendalam. Ini terkait erat dengan
pertanyaan lebih lanjut: apa yang mendorong kita untuk mengambil sebagai dasar
tepatnya sistem aksioma tertentu yang dikembangkan oleh Hilbert? Konsistensi
memang diperlukan tetapi bukan kondisi yang memadai. Untuk saat ini kami
mungkin tidak dapat menjawab pertanyaan ini
Dalam beberapa kasus
pertanyaan-pertanyaan ini dapat dijawab dengan cukup melalui studi teori
formal, dalam disiplin ilmu seperti matematika terbalik dan teori kompleksitas
komputasi. Seperti dicatat oleh Weyl, sistem logis formal juga menghadapi
risiko inkonsistensi; dalam aritmatika Peano, ini bisa dibilang telah
diselesaikan dengan beberapa bukti konsistensi, tetapi ada perdebatan tentang
apakah mereka cukup finansial untuk bermakna. Teorema ketidaklengkapan Gödel
yang kedua menyatakan bahwa sistem aritmatika yang logis tidak akan pernah bisa
mengandung bukti valid dari konsistensi mereka sendiri. Yang ingin dilakukan
Hilbert adalah membuktikan sistem logis S konsisten, berdasarkan pada prinsip P
yang hanya membentuk sebagian kecil dari S. Tetapi Gödel membuktikan bahwa
prinsip-prinsip P bahkan tidak dapat membuktikan P untuk konsisten, apalagi S.
Hilbert yang berpikir untuk
meletakkan matematika pada dasar kecil dari sistem logis terbukti suara dengan
cara. Dengan tujuan
tersebut maka dibuatlah program Hilbert dimana lawan utamanya adalah sekolah intuitionist, yang dipimpin
oleh L. E. J. Brouwer, yang dengan tegas membuang formalisme sebagai permainan
tanpa makna dengan simbol (van Dalen, 2008). Pertarungan sangat sengit. Pada
1920 Hilbert berhasil memiliki Brouwer, yang dia anggap sebagai ancaman bagi
matematika, dihapus dari dewan editorial Mathematische Annalen, jurnal
matematika terkemuka saat itu.
b.
Program
Hilbert
Hilbert yang berpikir untuk
meletakkan matematika pada dasar kecil dari sistem logis terbukti suara dengan
cara finitistic metamathematical.
Lawan utamanya adalah sekolah intuitionist, yang dipimpin oleh L. E. J.
Brouwer, yang dengan tegas membuang formalisme sebagai permainan tanpa makna
dengan simbol (van Dalen, 2008). Pertarungan sangat sengit. Pada 1920 Hilbert
berhasil memiliki Brouwer, yang dia anggap sebagai ancaman bagi matematika,
dihapus dari dewan editorial Mathematische Annalen, jurnal matematika terkemuka
saat itu.
Pemikiran
Hilbert yang menolak menolak solusi logika Russell untuk konsistensi masalah
untuk aritmatika, terutama karena alasan bahwa aksioma reducibilitas tidak bisa
diterima sebagai aksioma murni logis melahirkan program Hilbert pada tahun
1920. Tujuannya adalah untuk mengurangi teori himpunan, dan dengan itu metode biasa
analisis, untuk logika, belum tercapai hari ini dan mungkin tidak dapat dicapai
pada semua (Hilbert, 1920). Mantan murid Hilbert, Hermann Weyl, pindah aliran
intuitionism dan mengkritisi Hilbert pada sebuah Seminar Matematika Hamburg
dengan istilah “krisis dasar baru dalam matematika ”. pada tahun 1921 dijawab
oleh Hilbert dalam tiga pembicaraan di Hamburg pada Musim Panasia memaparkan
ide-ide ide-idenya pada proposal tersebut yang yang telah ada dari tahun 1904
tentang konsistensi langsung bukti, konsepsinya tentang sistem aksiomatik, dan
juga perkembangan teknis dalam aksioma
matematika dalam karya Russell serta perkembangan lebih lanjut yang dilakukan oleh dia dan kolaboratornya. Apa
yang baru adalah caranya di mana Hilbert ingin mengilhami proyek konsistensi
dengan filosofis:
.
Menurut Hilbert, ada bagian yang istimewa dari
matematika, kontekstual teori bilangan dasar, yang hanya bergantung pada
"dasar konkret yang murni intuitif tanda-tanda. "Sedangkan operasi
dengan konsep abstrak dianggap" tidak memadai dan tidak pasti, "ada
bidang objek diskrit ekstra-logis, yang ada secara intuitif sebagai objek
langsung sebelum semua pikiran. Jika kesimpulan logis ingin dipastikan, maka
objek-objek ini harus mampu sepenuhnya disurvei di semua bagian, dan presentasi
mereka, perbedaan mereka, suksesi mereka (seperti objek itu sendiri) harus ada
untuk kita segera, secara intuitif, sebagai sesuatu yang tidak bisa direduksi
menjadi sesuatu yang lain.
Tujuan utama program Hilbert adalah untuk memberikan
fondasi yang aman untuk semua matematika. Secara khusus ini harus mencakup:
- A formulation of all mathematics; in other words all mathematical statements should be written in a precise formal language, and manipulated according to well defined rules.
- Completeness: a proof that all true mathematical statements can be proved in the formalism.
- Consistency: a proof that no contradiction can be obtained in the formalism of mathematics. This consistency proof should preferably use only "finitistic" reasoning about finite mathematical objects.
- Conservation: a proof that any result about "real objects" obtained using reasoning about "ideal objects" (such as uncountable sets) can be proved without using ideal objects.
- Decidability: there should be an algorithm for deciding the truth or falsity of any mathematical statement.
Hilbert
dan Bernays mengembangkan ε- kalkulus sebagai formalisme definitif
mereka untuk sistem aksioma untuk aritmatika dan analisis, dan apa yang disebut
metode substitusi ε sebagai pendekatan yang disukai untuk memberikan
bukti konsistensi. Secara singkat, ε- kalkulus adalah formalisme yang
memasukkan ε sebagai operator pembentuk istilah. Jika A ( x
) adalah rumus, maka ε x A ( x ) adalah istilah, yang secara
intuitif erarti saksi untuk A ( x ). Dalam formalisme logis yang
mengandung ε- operator, bilangan dapat menjadi didefinisikan oleh: ∃xA ( x ) ≡ A
( ε x A ( x )) dan ∀xA ( x ) ≡ A ( ε x ¬A ( x
)). Satu-satunya tambahan aksioma yang diperlukan adalah apa yang disebut
“aksioma transfinite,” A ( t ) → A ( ε x A ( x
)).
Berdasarkan
pada gagasan ini, Hilbert dan rekan-rekannya mengembangkan aksioma angka teori
dan analisis. Bukti konsistensi untuk sistem ini kemudian diberikan dengan
menggunakan metode ε -substitusi. Gagasan metode ini adalah, kira-kira,
bahwa ε -terms ε x A ( x ) yang terjadi dalam bukti formal
digantikan oleh angka aktual, menghasilkan sebuah bukti bebas kuantifier. Kasus
paling sederhana, yang diuraikan dalam makalah Hilbert, adalah sebagai berikut.
Misalkan kita memiliki derivasi (yang dinormalisasi) dari 0 = 1 yang hanya
berisi satu ε -term ε x A ( x ). Ganti semua kemunculan ε
x A ( x ) dengan 0. Contoh dari Aksioma transfinite adalah semua
bentuk A ( t ) → A (0). Karena tidak ada ε -terms
lainnya terjadi pada buktinya, A ( t ) dan A (0) adalah
rumus numerik dasar tanpa pembilang dan, kita dapat mengasumsikan, juga tanpa
variabel bebas. Sehingga mereka dapat dievaluasi oleh perhitungan finansial.
Jika semua contoh seperti itu ternyata benar formula numerik, kita sudah
selesai. Jika tidak, ini pasti karena A ( t ) benar untuk
beberapa t , dan A (0) itu salah. Kemudian ganti ε x A ( x
) sebagai ganti dengan n , di mana n adalah nilai numerik dari
istilah t . Bukti yang dihasilkan kemudian dilihat sebagai turunan dari
0 = 1 dari benar, rumus numerik murni hanya menggunakan modus ponens, dan ini
tidak mungkin. Memang, prosedur ini hanya berfungsi dengan sedikit modifikasi
meskipun ada aksioma induksi, yang dalam ε- kalkulus mengambil bentuk
angka paling sedikit prinsip: A ( t ) → ε x A ( x )
≤ t , yang secara intuitif membutuhkan ε x A ( x ) sebagai
yang terkecil saksi untuk A ( x
).
c.
Teorema Ketidaklengkapan
Gödel
Teorema
ketidaklengkapan Gödel (Gödel, 1931) menunjukkan optimisme Hilbert tidak
berdasar. Pada bulan September 1930, Kurt Gödel mengumumkan tidak lengkap
pertamanya teorema ness pada sebuah konferensi di Königsberg. Von Neumann, yang
ada di hadirin, segera menyadari pentingnya hasil Gödel untuk Hilbert program.
Tak lama setelah konferensi dia menulis kepada Gödel, mengatakan kepadanya
bahwa dia telah menemukan akibat wajar untuk hasil Gödel. Gödel telah menemukan
hasil yang sama secara mandiri: teorema ketidaklengkapan kedua, menyatakan
bahwa sistem Principia tidak membuktikan formalisasi klaim bahwa sistem-prinsip
cipia konsisten (asalkan itu). Semua metode penalaran finansial
digunakan di bukti konsistensi sampai saat itu diyakini dapat diformalkan di Principia
, namun. Oleh karena itu, jika konsistensi Principia dapat dibuktikan
dengan metode digunakan dalam bukti Ackermann, itu harus mungkin untuk
memformalkan bukti ini di-prinsip cipia ; tetapi inilah yang
dinyatakan oleh teorema ketidaklengkapan kedua sebagai tidak mungkin.
Bernays
juga segera menyadari pentingnya hasil Gödel setelah ia belajar dari makalah
Gödel pada Januari 1931. Dia menulis kepada Gödel bahwa (dengan asumsi bahwa
alasan keuangan dapat diformalkan dalam Principia ) theory
ketidaklengkapan tampaknya menunjukkan bahwa bukti konsistensi finansial Principia
tidak mungkin. Tak lama kemudian, von Neumann menunjukkan bahwa bukti
konsistensi Ackermann adalah cacat dan memberikan contoh tandingan terhadap
prosedur substitusi ε yang diusulkan . Meskipun dampak teorema
ketidaklengkapan Gödel untuk pro- vitas Hilbert sults oleh Ackermann dan
Bernays di ε -calculus. Itu juga termasuk Herbrand (1930) bekerja pada
teori bukti, dan sketsa bukti konsistensi Gentzen (1936) aritmatika orde
pertama. Karya Bernays dan Gentzen, khususnya, berfokus pada kemungkinan
perluasan dari sudut pandang keuangan yang dapat menghasilkan bukti konsistensi
untuk bagian besar matematika terlepas dari teorema Gödel. Bukti konsistensi
pertama Gentzen untuk teori bilangan, yang disebut bukti kitchen (1935), adalah
hasil dari kombinasi karya Gentzen (1934) sebelumnya pada log formalisme ical
dari kalkulus sekuens, yang memberikan bukti-secara teoritis lebih aksioma
nyaman aritmatika, dan strategi baru untuk membuktikan konsistensi. Strategi
ini melibatkan pendefinisian “langkah-langkah reduksi” tertentu pada bukti:
lokal transformasi bagian dari derivasi dalam formalisme baru. Konsistensi
bukti kemudian dilanjutkan dengan menunjukkan bahwa dengan mengulangi enguranganini pada bukti akhirnya tiba di bukti bentuk khusus (bukti bebas dari aturan
cut dan aturan induksi), dan tidak ada bukti dari bentuk seperti itu dapat
menjadi bukti kontradiksi.
Versi
pertama buktinya mengandalkan gagasan aturan pengurangan, yang dengan
sendirinya tidak dapat diformalkan dalam aritmatika. Gagasan ini bertemu dengan
beberapa keberatan, dan dalam versi revisi dan yang diterbitkan (1936), Gentzen
menggantikan seruan untuk pengurangan aturan dengan bukti bahwa iterasi langkah
reduksi itu sendiri berakhir. Dia melakukan ini dengan menetapkan ukuran untuk
kompleksitas derivasi yang diberikan, dan menunjukkan itu
hasil
penerapan langkah reduksi ke bukti mengurangi kompleksitas ukuran bukti itu.
Ukuran kompleksitas yang digunakan Gentzen terbatas string angka yang dapat
diartikan sebagai penamaan tata cara yang terhitung kurang dari ε 0 .
Hasil
konsistensi kemudian mengikuti jika seseorang menerima bahwa tidak ada urutan
menurun yang terbatas dari notasi ordinal seperti itu, atau, lebih tepatnya,
dengan menggunakan induksi tak terbatas hingga ε 0 . Prinsip ini, dengan
teorema ketidaklengkapan Gödel, tidak dapat dengan sendirinya diformalkan dalam
aritmatika orde pertama (Gentzen, 1943). Gentzen bukti diperbolehkan Ackermann (1940)
untuk memberikan bukti konsistensi yang benar berdasarkan pada Metode
substitusi ε untuk aritmatika orde pertama, juga didasarkan pada induksi
transfinite hingga ε 0.
Teorema ketidaklengkapan Gödel, yang
diterbitkan pada tahun 1931, menunjukkan bahwa program Hilbert tidak dapat
dicapai untuk bidang-bidang utama matematika. Dalam teorema pertamanya, Gödel
menunjukkan bahwa sistem apa pun yang konsisten dengan seperangkat aksioma yang
dapat dikomputasi yang mampu mengekspresikan aritmatika tidak akan pernah
lengkap: adalah mungkin untuk membangun pernyataan yang dapat terbukti benar,
tetapi itu tidak dapat diturunkan dari aturan formal sistem. Dalam teorema
keduanya, ia menunjukkan bahwa sistem semacam itu tidak dapat membuktikan
konsistensinya sendiri, sehingga tentu saja tidak dapat digunakan untuk
membuktikan konsistensi sesuatu yang lebih kuat dengan pasti. Ini membantah
anggapan Hilbert bahwa sistem finitistik dapat digunakan untuk membuktikan
konsistensi dirinya sendiri, dan karenanya hal lain.
d.
Kesimpulan hasil penemuan Godel
Kurt Gödel menunjukkan bahwa sebagian besar
tujuan program Hilbert tidak mungkin tercapai, setidaknya jika ditafsirkan
dengan cara yang paling jelas. Teorema ketidaklengkapan kedua Gödel menunjukkan
bahwa teori konsisten apa pun yang cukup kuat untuk menyandikan penambahan dan
penggandaan bilangan bulat tidak dapat membuktikan konsistensinya sendiri. Ini
menghadirkan tantangan bagi program Hilbert:
·
It is not possible to formalize all mathematical true statements
within a formal system, as any attempt at such a formalism will omit some true
mathematical statements. There is no complete, consistent extension of even Peano arithmetic based on a recursively enumerable set of
axioms.
- A theory such as Peano arithmetic cannot even prove its own consistency, so a restricted "finitistic" subset of it certainly cannot prove the consistency of more powerful theories such as set theory.
- There is no algorithm to decide the truth (or provability) of statements in any consistent extension of Peano arithmetic. Strictly speaking, this negative solution to the Entscheidungsproblem appeared a few years after Gödel's theorem, because at the time the notion of an algorithm had not been precisely defined.
e. Program Hilbert Setelah Godel
Teori
Godel tentu saja mempengaruhi konsepsi Hilbert. Sehingga ia pun menggubah
beberapa konsep dalam program Hilbert. Banyak jalur penelitian saat ini dalam
logika matematika, seperti teori bukti dan matematika terbalik, dapat dilihat
sebagai kelanjutan alami dari program asli Hilbert. Sebagian besar dapat
diselamatkan dengan mengubah tujuannya sedikit (Zach 2005), dan dengan
modifikasi berikut beberapa di antaranya berhasil diselesaikan:
1. Meskipun tidak mungkin untuk memformalkan semua
matematika, pada dasarnya dimungkinkan untuk memformalkan semua matematika yang
digunakan siapa pun. Secara khusus teori himpunan Zermelo-Fraenkel,
dikombinasikan dengan logika orde pertama, memberikan formalisme yang memuaskan
dan diterima secara umum untuk hampir semua matematika saat ini.
2. Meskipun tidak mungkin untuk membuktikan kelengkapan
untuk sistem setidaknya sekuat aritmatika Peano (setidaknya jika mereka
memiliki seperangkat aksioma yang dapat dihitung), dimungkinkan untuk
membuktikan bentuk kelengkapan untuk banyak sistem menarik lainnya.
Keberhasilan besar pertama adalah oleh Gödel sendiri (sebelum ia membuktikan
teorema ketidaklengkapan) yang membuktikan teorema kelengkapan untuk logika
tingkat pertama, yang menunjukkan bahwa konsekuensi logis dari serangkaian
aksioma dapat dibuktikan. Contoh dari teori non-sepele yang kelengkapannya
telah dibuktikan adalah teori bidang yang secara aljabar tertutup dengan
karakteristik yang diberikan.
3. Pertanyaan tentang apakah ada bukti konsistensi
finansial dari teori-teori yang kuat sulit untuk dijawab, terutama karena tidak
ada definisi yang diterima secara umum tentang "bukti keuangan".
Kebanyakan ahli matematika dalam teori pembuktian nampaknya menganggap
matematika finiter sebagai yang terkandung dalam aritmetika Peano, dan dalam
hal ini tidak mungkin untuk memberikan bukti finansial dari teori-teori yang
cukup kuat. Di sisi lain, Gödel sendiri menyarankan kemungkinan untuk
memberikan bukti konsistensi finansial menggunakan metode finitary yang tidak
dapat diformalkan dalam aritmatika Peano, sehingga ia tampaknya memiliki
pandangan yang lebih liberal tentang metode finansial apa yang diperbolehkan.
Beberapa tahun kemudian, Gentzen memberikan bukti konsistensi untuk aritmatika
Peano. Satu-satunya bagian dari bukti ini yang tidak jelas finitary adalah
induksi transfinite tertentu hingga ε0 ordinal. Jika induksi tak terbatas ini
diterima sebagai metode finitary, maka orang dapat menyatakan bahwa ada bukti
finansial dari konsistensi aritmatika Peano. Himpunan bagian yang lebih kuat
dari aritmatika orde kedua telah diberikan bukti konsistensi oleh Gaisi Takeuti
dan yang lainnya, dan orang dapat kembali berdebat tentang seberapa tepat atau
konstruktif bukti-bukti ini. (Teori-teori yang telah terbukti konsisten dengan
metode ini cukup kuat, dan termasuk sebagian besar matematika
"biasa").
4. Meskipun tidak ada algoritma untuk memutuskan
kebenaran pernyataan dalam aritmatika Peano, ada banyak teori yang menarik dan
non-sepele yang algoritma tersebut telah ditemukan. Sebagai contoh, Tarski
menemukan sebuah algoritma yang dapat memutuskan kebenaran pernyataan apa pun
dalam geometri analitik (lebih tepatnya, ia membuktikan bahwa teori bidang
tertutup nyata dapat dipilih). Mengingat aksioma Cantor-Dedekind, algoritma ini
dapat dianggap sebagai algoritma untuk memutuskan kebenaran dari setiap
pernyataan dalam geometri Euclidean. Ini substansial karena beberapa orang akan
menganggap geometri Euclidean sebagai teori sepele.
DAFTAR PUSTAKA
D. Hilbert. 'Die Grundlagen Der Elementaren Zahlentheorie'. Mathematische
Annalen 104:485–94. Translated by W. Ewald as 'The Grounding of Elementary
Number Theory', pp. 266–273 in Mancosu (ed., 1998) From Brouwer to
Hilbert: The debate on the foundations of mathematics in the 1920s, Oxford
University Press. New York.
G. Gentzen, 1936/1969. Die Widerspruchfreiheit der reinen Zahlentheorie.
Mathematische Annalen 112:493–565. Translated as 'The consistency of
arithmetic', in The collected papers of Gerhard Gentzen, M. E. Szabo
(ed.), 1969.
Kline, morris. (1973). Matematika Ilmu
Dalam Perspektif. Ed. Jujun Suriasumantri. Jakarta: Yayasan Obor Indonesia.
Hilbert,
D.
(1922), "Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung", Hamburger
Mathematische Seminarabhandlungen 1, 157–177. Translated, "The New
Grounding of Mathematics. First Report", in (Mancosu 1998).
James and James, Van.
1976. Mathematic Dictionary. Nostrand Rienhold
Marsigit. (2012). Philosophy of Mathematics Education.
Diakses dari: https://www.academia.edu/1809148/Philosophy_of_mathematics_Education_by_Marsigit
Reys, dkk. 1984. Dasar-Dasar Matematika. Jakarta: Bumi Aksara.
Runes, Dagobert D. 1975. Dictionary
of Philosophy. New Jerse. Adam dan Totowa
Ruseffendi, ET, Pengajaran Matematika
Modern, Bandung: Tarsito, 1980.
R. Zach, 2006. Hilbert's Program Then and Now. Philosophy
of Logic 5:411–447, arXiv:math/0508572 [math.LO].
S.G. Simpson, 1988. Partial realizations of Hilbert's program. Journal of Symbolic Logic
53:349–363.
Weyl, H. (1921), "Ãœber die neue Grundlagenkrise
der Mathematik", Mathematische Zeitschrift 10, 39–79. Translated,
"On the New Foundational Crisis of Mathematics", in (Mancosu 1998).
Wikipedia. 2019. Diakses 20 mei 2019 di https://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_ketaklengkapan_G%C3%B6del
link :
Wikipedia. 2019. Diakses 20 mei 2019 di https://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_ketaklengkapan_G%C3%B6del
link :
powermathematics.blogspot.com
uny.academia.edu/MarsigitHrd
Tidak ada komentar:
Posting Komentar